|
|
Математические модели в Excel
| В этом пункте в качестве примера мы рассмотрим простую математическую модель, описывающую движение самолета по окружности в вертикальной плоскости. Идеи, изложенные здесь, вы можете использовать при всевозможных численных экспери¬ментах.
Из физики известно, что летчик, совершающий на самолете петлю Нестерова* («мертвую петлю»), движется по окружности с ускорением, направленным к ее центру. Схема этого движения показана на рис. 12.15.
В любой точке окружности на летчика действуют две силы, направленные к центру: сила реакции опоры F (давление со сто-роны сиденья) и проекция силы тяжести на радиус, равная mgsina, где m — масса летчика, g — ускорение свободного паде¬ния. Сумма этих сил, согласно второму закону Ньютона, и обес¬печивает центростремительное ускорение летчика:
mv2/R = F + mgsina,
где v — скорость самолета, а R — радиус петли.
Угол а будем отсчитывать от горизонтали по часовой стрелке (см. рис. 12.15). Обратите внимание, что сила F всегда неотрица¬тельна, а вторая составляющая может быть и отрицательной. Так, при a = 0 и a = л (при переходе летчика через горизонталь) mgsina = 0, при a = п/2 (в верхней точке петли) mgsina = mg, а при a = Зя/2 (в нижней точке петли) mgsina = -mg.
Какие задачи можно решить, используя эту модель?
Например, можно исследовать вопрос № 1 — перегрузку лет¬чика, т. е. максимальное давление со стороны опоры, возни-кающее при проходе самолета через нижнюю точку петли:
F = mv2/R + mg.
В верхней точке этой петли реакция опоры минимальна:
F = mv2/R - mg,
и здесь возникает другой вопрос (№ 2): если масса летчика и радиус петли заданы, при какой минимальной скорости сила F сохраняет неотрицательное значение, т. е. при какой скорости
выполнение петли еще возможно? И наоборот, каков максималь¬ный радиус, при котором еще возможно выполнение петли (если
m и v заданы)?
Такие модели можно исследовать аналитически, ничего не вычисляя, при неких граничных значениях "переменных. .Напри¬мер, исследуя вопрос № 2, мы должны написать: :, F = mv2/R - mg = О
(при меньшем значенииЧ F петля не получится). И здесь мы «неожиданно» обнаружим; что ответ на вопрос № 2 не зависит "от массы тела:
v2 = gR.
Точно такой же моделью мы можем описать и другие процес¬сы, например:
цирковой номер велосипедиста, совершающего «чертову петлю» на арене в вертикальной плоскости;
вращение ведерка на веревке в вертикальной плоскости;
аттракционы в парке и т. д.
Слегка изменив модель, можно изучать перегрузки космонав¬та при движении в центрифуге, мотогонки по вертикальной сте¬не и т. п.
А теперь рассмотрим пример численного исследования ука¬занной модели для частного случая:
F = m(v2/R - g), т. е. изучим давление на летчика в верхней точке «мертвой
петли».
Будем считать g и m константами и запишем их соответст-венно в ячейки А1 = g (9.8 м/сек2) и А2 = m (75 кг). Присвоим этим ячейкам имена g и т.
В ячейки В1 и С1 будем записывать скорость v (м/сек) и ра¬диус R (м), а в ячейку D1 поместим формулу для силы реакции опоры:
=ЕСЛИ(т*(ВГ2/С1-д)>=0, т*(ВГ2/С1-д),"Ошибка: V или R!"). Подставляя в В1 и С1 различные значения v и R, мы будем получать в D1 соответствующие значения реакции опоры (F) в ньютонах. При этом, если эта сила станет отрицательной, функ¬ция ЕСЛИ вместо F вернет значение символьной строки (сообщение об ошибке). |
| Категория: компьютеры 6 | Добавил: sergei4 (15.11.2010)
|
| Просмотров: 411
| Рейтинг: 0.0/0
|
|
|
